Materi dan Latihan Soal Aritmatika sosial, Perbandingan dan Himpunan

Aritmatika sosial, perbangingan, serta himpunan. Tiga materi tersebut merupakan materi matematika yang sangat erat sekali manfaatnya dalam kehidupan sehari-haru. Pembelajaran aritmatika sosial sangat penting karena dengan belajar aritmatika sosial, kita bisa menentukan keuntungan dalam usaha kita.Kita dapat menghindari yang namanya kerugian.Cakupan materi dalam aritmatika sosial adalah sebagai berikut:

Ø  Untung dan Rugi

Ø  Mencari harga jual atau harga beli jika untung atau rugi diketahui

Ø  Diskon atau rabat

Ø  Bruto, tara, dan neto

Ø  Bunga tunggal

Sedangkan untuk  mengetahui letak suatu kota, gunung, sungai, jarak dari satu tempat ketempat yang lain, membuat tiruan suatu benda yang sangat besar seperti gelobe yang menggambarkan bumi, peta yang menggambarkan letak – letak suatu daerah, dan lain sebagainya. Untuk menggambarkan hal tersebut, dibuatlah suatu dibuatlah suatu gambar atau bangun yang mewakili keadaan sebenarnya.Agar gambar dan keadaan sebenarnya dapat sesuai, maka diperlukan suatu perbandingan tertentu yang disebut skala.Gambar – gambar yang dibuat dengan menggunakan skala tertentu sehingga mewakili keadaan yang sebenarnya diantaranya adalah peta dan denah. Cakupan materi dalam perbandingan adalah sebagai berikut:

Ø  Gambar berskala

Ø  Faktor pada gambar berskala,

Ø  Arti perbandingan

Ø  Perbandingan seharga dan berbalik harga.

Himpunan merupakan dasar ilmu matematika yang dipelajari di sekolah sampai ketingkat perguruan tinggi.Himpunan merupakan penunjang penting pada materi ilmu-ilmu tesebut dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Matematika adalah tidak lengkap apabila tidak disertai uraian mengenai himpunan atau kumpulan (sets). Hal ini karna dalam matematika modern, himpunan atau kumpulan (sets) memegang peranan yang sangat penting. Segala sesuatu yang ada dalam hidup manusia terdiri atas himpunan atau kumpulan (sets). Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor(1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertamakali cabang matematika ini.Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama mengenai tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga. Cakupan materi dalam himpunan adalah sebagai berikut:

Ø Pengertian himpunan

Ø Notasi himpunan dan anggota himpunan

Ø Menyatakan suatu himpunan

Ø Bilangan kardinal

Ø Macam – macam himpunan

Ø Himpunan semesta (universum)

Ø Diagram Venn

Ø Hubungan antar himpunan

Ø Operasi antar himpunan

Ø Komplemen

Untuk mempelajari aritmatika sosial, perbandingan dan himpunan dapat di download di Materi ya, sedangkan untuk latihan soalnya bias didapatkan di Latihan Soal ^_^.Trim’s

Read More

Segitiga dan Teorema Pythagoras (video dan materi pembelajaran)

Kalau berbicara mengenai segitiga, apa sih yang ada di benak kalian. Oke, apa saja sih macam-macam segitiga itu? Dilihat dari panjang sisi-sisinya, ada segitiga samakaki (ada dua sisi yang sama panjang),segitiga samasisi (semua sisinya sama panjang), dan segitiga sembarang. Sedangkan jika dilihat dari besar sudutnya, ada segitiga siku-siku, segitiga lancip dan segitiga tumpul. Nah jika berbicara mengenai segitiga siku-siku apa yang terbesit dipikiran kalian. Teorema Pythagoras? Ya, sekarang kita akan membahasnya..

"Teorema Pythagoras" dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segi tiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.

Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides di antara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa 'Jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusa-nya'.

Secara matematis, teorema ini biasanya biasanya ditulis sebagai : a² + b² = c² , di mana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.

 Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem". Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

Udah yaa segitu aja sejarahnya, sekarang untuk memahami materi segitiga dan Teorema Pythagoras itu sendiri kalian bias download di Segitiga.

Dan untuk link-link di bawah ini adalah video pembelajarannya :

Video 1

Video 2

Video 3

^_^ Trim’s

Read More

Barisan dan Deret

Sebelum belajar mengenai barisan dan deret, yuk kita kenali dulu tokoh penemu barisan dan deret itu. Nah penemunya adalah Leonardo da Pisa.

Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano  (1175 - 1250), dikenal juga sebagai Fibonacci, adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa (algorisma). Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret.

Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci ('bersifat baik' atau 'sederhana'). Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem bilangan Arab.

Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.)

Sekarang kita pahami pengertian dari barisan bilangan dulu ya,

Barisan bilangan adalah urutan bilangan – bilangan dengan aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku. Barisan bilangan adalah urutan bilangan – bilangan dengan aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku.

Perhatikanlah setiap barisan dibawah ini!

a.   1, 3, 5, 7, 9,11, seterusnya yang selalu bilangan ganjil

b.  -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, dan seterusnya yang selalu berselisih 5

Barisan  bilangan pada a sering kita jumpai dalam kehidupan sehari – hari.misalnya, ketika mencari nomor rumah 5, kamu tentu akan mencari pada sisi yang lain yaitu deretan rumah bernomor ganjil.

Coba perhatikan barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, dan seterusnya.

-    Suku ke-1 adalah 1, biasanya ditulis dengan lambang U₁ = 1

-    Suku ke-2 adalah 3, biasanya ditulis dengan lambang U₂ = 3

-     Suku ke-3 adalah 5, biasanya ditulis dengan lambang U₃ = 5

-    Dan seterusnya.

Berapakah suku ke-4?

Dalam menentukan suku ke-4 dari barisan harus diketahui tata urutan suku barisan itu. Dalam hal ini, suatu bilangan yang tetap ditambahkan agar didapat bilangan di depannya. Bilangan tetap itu disebut selisih atau beda.

Beda itu boleh positif atau negatif. Jika beda itu positif, maka barisan itu menjadi bertambah nilainya. Jika beda itu negatif, maka barisan itu menjadi berkurang nilainya.

Selanjutnya mengenai barisan dan deret dapat didapatkan di Materi Barisan  ya. ^_^.Trim’s

Read More

Soal Olimpiade SMP

Haii reader, tidakkah kalian tertarik dengan soal-soal olimpiade matematika. Bagaimana bentuk soalnya? Tentunya soal-soal yang diujikan di tingkat olimpiade matematika berbeda dengan soa-soal yang biasanya kita temui saat pelajaran di sekolah. Soal-soal olimpiade matematika tersebut lebih membutuhkan pemikiran yang lebih tinggi untuk menyelesaikannya. Namun, sebenarnya banyak trik dan cara yang bisa kita gunakan dalam mengerjakan soal-soal olimpiade tersebut. Selain itu kita juga harus banyak berlatih untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade tersebut, agar semakin banyak pengetahuan dan dengan begitu dapat dengan mudah memahami trik penyelesaian soal tersebut.Penasaran dengan bagaimana bentuk soal-soalnya? Kali ini kami akan berbagi contoh-contoh soal olimpiade yang bisa kalian gunakan untuk berlatih. Nah silahkan klik link-link yang ada di bawah ini ya... ^_^ Trim's
Soal-soal Olimpiade SMP1
Soal-soal Olimpiade SMP2
Soal-soal Olimpiade SMP3

Read More

Turunan Fungsi (Materi dan Latihan Soal)

Haii reader ^_^. Nah kali ini kita akan membahas mengenai materi turunan. Dalam kehidupan sehari hari banyak sekali manfaat turunan, seperti digunakan untuk mencari percepatan, laju perubahan nilai fungsi, dan lain-lain. Konsep turunan ini digunakan dalam berbagai bidang lo. aMisalnya saja dalam penelitian fisika, seperti bandul menggunakan turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain – lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat mengetahui penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi. Selain itu juga bermanfaat dalam bidang arsitektur, dalam membuat konstruksi bangunan, percampuran bahan bahan bangunan yang di lakukan oleh arsitek, pembuatan tiang – tiang, langit langit, ruangan,dan lain lain,menggunakan turunan. Sehingga bangunan terlihat cantik dan kokoh. Pembuatan kapal, pesawat, dan kendaraan lainnya menggunakan turunan.

Dalam dunia penerbangan,turunan juga mempunyai fungsi terpenting untuk lajunya pesawat. Pesawat akan mengikuti navigasi dari tower yang berada di bandara. Setiap laju pesawat akan terdetek pada navigasi,sehingga laju pesawat tidak salah arah dan percepatannya sesuai dengan panduaan dari tower. Misalkan bahwa kecepatan gerak dari sebuah benda juga merupakan fungsi waktu atau v(t) berubah terhadap t. Laju perubahan kecepatan terhadap waktu disebut percepatan dari gerakBenda tersebut. Percepatan pada waktu t detik biasanya dilambangkan dengan a(t) dengan satuan m/detik2. Bahkan dalam perekonomian, juga menggunakan fungsi turunan.contohnya saja apabila ingin menghitung nilai minimum dan nilai maksimum dalam sebuah keuangan.

Gimana, banyak kan manfaat dari turunan, sekarang kita akan membahas mengenai definisi dari turunan

Definisi Turunan Suatu Fungsi

Turunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai

apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah fungsi terhadap x.

Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di titik (c, f(c)).

Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan. Suatu fungsi terturunkan di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka (a, b) jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang.

Nah, pembahasan turunan fungsi yang lebih lanjut bisa kalian dapatkan di Materi Turunan.

Sedangkan untuk latihan soalnya bias kalian dapatkan di Latihan Soal ya ^_^ . Trim’s

Read More

Menghitung Luas Daerah dengan Integral

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah penemuan dan pengembangan yang agak unik. Metode ini banyak diminati oleh para ilmuwan lain di luar bidang matematika. Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :

Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.

Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

Contoh Penggunaan Integral Luas:

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan  menghitung luas daerah dengan menggunakan integral. 

Untuk mempelajari menghitung luas daerah dengan menggunakan integral dapat di download di Integral ya ^_^.Trim's

Read More

Persamaan Linier Satu Variabel

Persamaan dan pertidaksamaan telah menjadi materi terpenting di dalam aljabar khususnya, maupum matematika pada umumnya. Sangat banyak persoalan dalam matematika, mata pelajaran lain maupun dalam kehidupan sehari-hari yang dalam penyelesaiannya menggunakan konsep persamaan dan petidaksamaan.

Menurut sejarah Aljabar Linear, persamaan linear dan konsep dasar lainnya aljabar memiliki akar mereka di dunia kuno. Phytagoras dan murid-muridnya menggunakan ide matematika yang paling dasar, menghitung, untuk mengembangkan berbagai masalah nomer seperti tiga kali lipat Phytagoras. Pada sekitar 2000 SM, Babilonia mengembangkan persamaan linear untuk memecahakan masalah ini. Kemudian, Babel matematika di sahkan ke Yunani, yang digunakan untuk memecahakan persamaan linear dan berkontribusi untuk berbagai bidang

Perhatikan kalimat “Suatu bilangan dikurangi dengan 5 hasilnya 3”. Kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah karena “sesuatu” pada kalimat itu belum diketahui nilainya. Jika “suatu bilangan” dengan 8, maka akan menjadi kalimat benar, dan jika “suatu bilangan” diganti dengan bilangan bukan 8, maka akan menjadi kalimat salah. Jadi, kalimat yang memuat variabel sehingga belum diketahui nilai kebenaranya (benat atau salah) disebut kalimat terbuka. Variabel atau peubah adalah lambang (simbol) yang dapat diganti oleh sembarang bilangan yang ditentukan. Sedangkan pengganti dari variabel sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat benar atau kalimat salah disebut konstanta.matematika seperti kerucut, astronomi, dan trigonometri.

Perhatikan kalimat terbuka x + 1 = 5.Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya,kalimat terbuka dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan. Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variable. Jika x pada persamaan x + 1 = 5 diganti dengan x = 4 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 4 maka persamaan x + 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini x = 4 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 1 = 5. Selanjutnya himpunan penyelesaian dari x + 1 = 5 adalah {4}.

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai variabel berangkat satu. Bentuk umum persamaan liear satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.

Untuk memahami persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel (PLSVdan PtLSV) silahkan download di  Persamaan linier^_^.Trim's

Read More